Open Methods

Hai Kawan Bloggers,

Telah kita ketahui sebelumnya bahwa Bracketing Methods(Metode Pengurungan) berguna sebagai pencari akar-akar dari suatu persamaan dengan menetapkan batas atas dan batas bawah.Pengulangan dari cara ini akan didapatkan akar-akar dari sustu persamaan yang ada.

Namun Open Methods berbeda dengan Bracketing Methods.Metode ini berguna untuk mencari akar-akar dari persamaan dengan menggunakan satu nilai mula dari x atau dua nilai mula yang tidak perlu digunakan untuk mengurung akar.Terkadang mereka(kedua nilai mula tersebut) menjauh dari akar dari yang sebenarnya sesuai dengan berjalannya perhitungan.Metode ini menggunakan rumus untuk memprediksikan nilai yang baru.Rumus ini dapat dibangun untuk simple fixed-point iteration(pengulangan sederhana) dengan menjadikan f(x)=0.Dengan adanya hal ini,kita memperoleh persamaan:

x=g(x)

mau tahu selanjutnya,silakan klik disini atau dalam format word,silakan klik disini

 

 

Metode Pengurungan(Bracketing Methods)

Metode ini adalah suatu metode dalam metode numerik yang berfungsi untuk mencari akar-akar dari suatu persamaan dengan cara menebak dua nilai,kemudian kita mengurung dengan menggunakan kedua nilai tersebut hingga kita dapat menemukan akar-akar dari persamaan tersebut.Dalam metode ini kita dapat menemukan berbagai macam cara:

1.Metode Grafis

Metode ini telah kita kenal sejak kita SMP.Metode ini dapat digunakan untuk mencari akar-akar pesamaan.Akar dapat diperoleh dengan mudah apabila kurva memotong sumbu horizontal/absis.Grafik di bawah ini tidak memiliki akar persamaan:

2

2.Metode Pembagian Dua(Bisection Methods)

Metode ini masih erat hubungannya dengan metode grafis.Metode ini dilakukan dengan cara membagi dua kurva yang diwakili oleh suatu titik yang nilainya dikalikan oleh nilai tertinggi dan yang terendah (sesuai dengan perkiraan kita) secara bergantian.Pembagian kurva tersebut dapat terus dilakukan hingga ditemukannya akar .Namun hal tersebut harus mengikuti syarat sebagai berikut:

2

ket:f(xl):menyatakan nilai dari fungsi x lower(x terendah).f(xu):nilai  x tertinggi

Untuk lebih jelasnya Anda dapat melihat tabel di bawah berikut ini:

2

Contoh:

2

  1. Misal kita menduga bahwa nilai tertinggi pada kedua ujung kurva tersebut adalah 16 dan nilai terendahnya adalah 12,5.Sedangkan f(12,5)=2 dan f(16)=-1.
  2. Setelah itu kita tentukan xr dengan menambahkan 16 dengan 13 kemudian kita bagi dua(.Nilai 14,25 ini adalah titik tengah dari kedua nilai tersebut.Kemudian kita akan memilih daerah mana yang kita akan pilih dengan mengalikan 14,25 dengan f(12,5) yang menghasilkan nilai yang positif,sedangkan apabila 14,25 dikalikan dengan f(16) akan menghasilkan nilai yang negatif.
  3. Berdasarkan langkah 2 di atas,maka daerah antara 13 dan 14,25 tidak termasuk akar karena tidak memenuhi syarat metode ini maka pencarian dilanjutkan pada daerah antara 14,25 dan 16 dan begitu seterusnya.
  4. Tambahan:Dalam metode ini terdapat error perkiraan relatif

Tabel di bawah ini adalah representasi dari langkah-langkah di atas(Grafik menunjukkan kesalahan perkiraan relatif).

2

Menurut perhitungan di atas diperkirakan akar persamaan dari grafik tersebut ada pada nilai 15,78125(dilihat dari nilai dengan prosentase kesalahan terkecil).

3.Metode Kesalahan Posisi(False Position Method/Regulafalsi).

Metode ini erat pula hubungannya dengan metode grafis sama halnya dengan dua metode di atas.Namun akar persamaan dapat dicari melalui rumus:

2

Rumus di atas di dapat dengan menarik garis pada dua buah titik yang kita duga ada akar di antara keduanya.Kemudian kita cari gradien pada kedua segitiga yang terbentuk dari garis yang sama.Kita akan mendapatkan akar yang kita inginkan seiring dengan melihat kesalahan yang paling kecil.

 

Pemotongan Kesalahan dan Deret Taylor

Hai Kawan Bloggers,

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas judul di atas.Kini kita mulai dengan maksud pemotongan kesalahan.Pemotongan kesalahan/ Truncation errors are those that result from using an approximation in place of an exact mathematical procedure artinya adalah pemotongan kesalahan adalah hasil yang menggunakan perkiraan pada suatu langkah-langkah matematis.Contohnya pada materi yang kita bahas sebelumnya kita memperkirakan kecepatan sebelumnya dari kecepatan jatuh penerjun bebas yang penyelesaian matematisnya adalah dengan a finite-divided-difference equations:

1

Truncation errors/pemotongan kesalahan-kesalahan sangat berhubungan dengan Deret Taylor yang akan kita bahas pada kesempatan ini.

 

Deret Taylor

Pada intinya Deret Taylor ini adalah suatu fungsi yang berderet yang berguna untuk menentukan nilai dari suatu permasalahan.Metode ini memberikan perkiraan/pendekatan pada suatu nilai yang sebenarnya jadi truncation errors sangat diperlukan pada metode ini.Contoh Deret Taylor:

1

 

Ket:

f(xi+1)=Fungsi setelah nilai tertentu

h       =selisih antara nilai sebelumnya dan setelahnya

f(xi)  = fungsi awal/fungsi dasar

Rn     =mewakili semua nilai n+1 ke nilai tak terhingga

 

Contoh:

Dengan menggunakan Deret Taylor dari n=0 sampai 6 untuk memperkirakan nilai f(x)=sin x pada xi+1= dan kita misalkan nilai sebelumnya adalah xi=sebagai nilai dasar sedangkan nilai  h=-=.

Dapat dengan mudah kita ketahui nilai sebenarnya f(

Pada langkah pertama ini kita menentukanThe zero-order approximation/perkiraan yang ke-0:

Dimana kita memperoleh kesalahan relatif(%)=

To be continued….

 

 

Software dan Pemrogramannya

Hai kawan Bloggers,

Semoga kita diberi kesehatan jiwa dan raga oleh Tuhan Yang MahaEsa.

Komputer dapat membantu kita dalam menganalisis sebuah masalah perhitungan dan logika.Komputer dapat menghitung perhitungan yang panjang sekali dan berulang-ulang.Kita tidak dapat menggunakannya secara langsung tanpa ada software yang berfungsi sebagai media antara manusia dan komputer.Software akan memudahkan kita memberikan instruksi kepada computer karena software dapat menerjemahkan bahasa(instruksi) kita menjadi bahasa tingkat rendah(mesin).Oleh karena itu,kali ini kita akan membahas tentang software dan pemrogramannya.Kita langsung saja membahas pemrograman dua software yang sudah kita kenal yaitu MS Excel dan Dev-C++.

Sebenarnya dalam pemrograman itu sebelumnya kita harus membuat algoritma (urutan penyelesaian masalah) yang kemudian dilanjutkan membuat flowchart.Setelah itu kita buat programnya.Sebelumnya kita lebih baik mengetahui macam-macam flowchart.

B

 

Contoh algoritma pada program pertambahan

  1.       Kita mulai program
  2.       Masukkan angka a dan b(terserah)
  3.       Tambahkan a dengan b
  4.       Masukkan hasil a+b kedalam c
  5.       Tampilkan c
  6.       Stop program

Flowchart:

B

Listing Program dengan Dev-C++

#include <stdio.h>

int a,b,c;

int main()

{

printf(“Masukkan Nilai a=”);

scanf(“%i”,&a);

printf(“Masukkan Nilai b=”);

scanf(“%i”,&b);

c=a+b;

printf(“Jadi hasil a+b =%i”,c);

getch();

}

Setelah teman-teman mahir dalam pemrograman Dev-C++,mari kita menyelesaikan masalah pokok kita yaitu menghitung kecepatan tiap waktu pada orang yang terjun payung.

Program Excel

Pada program ini kita dapat membuat algoritmanya.Tentunya teman-teman sudah bisa membuat algoritma.Kita langsung saja membuat program ini dalam Excel.

Ini ScreenShotnya:

B

Program Dev-C++

Program ini terdiri dari tiga bagian:

  1.       Preprocessor Directives
  2.       Deklarasi Global
  3.       Fungsi Utama

 

 

#include <stdio.h>                                                       //ini bagian Preprocessor Directives

int a,b,c;                                                                      //ini bagian Deklarasi global

int main()                                                                    //ini bagian fungsi utama

{

printf(“Masukkan Nilai a=”);

scanf(“%i”,&a);

printf(“Masukkan Nilai b=”);

scanf(“%i”,&b);

c=a+b;

printf(“Jadi hasil a+b =%i”,c);

getch();

}

Preprocessor Directives adalah pustaka atau sumber dari instruksi yang kita pakai dalam program ini.Terlihat bahwa instruksi pada program di atas adalah printf dan scanf.Kedua perintah ini terdapat pada stdio.h

Deklarasi Global adalah tempat dimana kita mendeklarasikan variabel(a,b,dan c) yang akan kita pakai pada program ini.

Fungsi utama adalah fungsi pertama yang akan dijalankan oleh Dev-C++

Keterangan tambahan:

  • scanf berfungsi untuk memasukkan nilai ke variabel
  • printf berfungsi untuk mencetak nilai suatu variabel
  • getch() berfungsi untuk menahan keluaran program
  • tanda { sebagai start
  • tanda } sebagai stop

Sebenarnya program ini memproses bahasa C dan C++ .Jadi apabila teman-teman ingin mengetahui lebih lanjut struktur bahasa C dan C++,teman-teman dapat mencari di google.

Nah,saatnya kita menyelesaikan masalah penerjun payung dengan membuat program C di Dev-C++.Kita langsung fokuskan pada rumus di bawah ini:

B

Algoritma:

  1. Mulai Program
  2. Masukkan nilai g=9,8,m=68,1, c=12,5,nilai eksponensial(e)=2,718281828,dan nilai t
  3. Proses nilai-nilai di atas dengan rumus v(t)
  4. Masukkan nilai pada poin 3 ke v(t)
  5. Tampilkan v(t)
  6. Stop

B

 

to be continued……

sumber:Numerical Methods For Engineer karangan Steven C. Chapra dan Raymond Canale.

Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Masalah Keteknikan

Hai kawan bloggers,

kali ini kita akan membahas tentang judul di atas.sebelum kita membahas lebih dalam tentang pemodelan matematis,alangkah baiknya kita mengetahui apa arti dari jusul kita di atas.

Pemodelan berasal dari kata model yang berarti permisalan atau bentuk lain dari suatu system.sistem dapat berupa sistem elektrik,sistem control,dan lain-lain.Matematis adalah secara matematika.Jadi,Pemodelan matematis adalah memisalkan sebuah system dalam bentuk matematis.Apa hubungannya dengan masalah dalam keteknikan(engineering problem solving)?.

Model itu sangat penting dalam bidang teknik.Model akan membantu kita agar lebih mudah dalam menganalisis sebuah masalah dalam bidang teknik.Misalnya kita ingin membangun rumah.Pasti kita akan membutuhkan seorang arsitek untuk memodelkan rumah kita dengan membuat sketsa.Model dapat berupa gambar,grafik ataupun berupa persamaan matematika.Pada pembahasan kita kali ini kita akan membahas tentang model matematis.

Model matematik dapat berupa persamaan atau rumus yang menjelaskan hal yang mendasar dari suatu system fisik atau proses dalam keadaan matematik.Model matematik dapat di representasikan dalam bentuk:

 

B

  • Dependent variable adalah variabel terikat.Variabel terikat adalah suatu karakteristik yang merepresentasikan sifat atau keadaan suatu system
  • Independent variables adalah variabel bebas.Variabel ini memiliki dimensi,seperti ruang dan waktu sepanjang sistem diamati perilakunya.
  • Parameters adalah parameter.Parameter adalah susunan system
  • Forcing Functions adalah fungsi paksaan.Maksud dari fungsi paksaan disini adalah pengaruh luar yang masuk ke suatu system.

Contoh model matematik pada pembahasan kita kali ini adalah tentang pemodelan matematis orang yang sedang terjun payung.Namun sebelumnya kita membahas tentang hukum Newton kedua:

B

Kemudian kita dapat merubahnya menjadi

B

  • F adalah gaya yang bekerja pada suatu benda(N atau kg m/s2) dan sebagai Forcing Functions.
  • a adalah percepatan(m/s2) dan sebagai variabel terikat.
  • m adalah massa benda dan sebagai parameter yang merepresentasikan susunan benda.
  • Selain itu pada rumus ini tidak ada variabel bebas karena tidak adanya variabel waktu ataupun ruang.

Model Matematik diatas dapat berbentuk kompleks seperti ini:

B

  • Dimana v adalah kecepatan rata-rata benda/system(m/s).
  • t adalah waktu(s).

Apabila F bernilai negative,maka system akan mengalami perlambatan.Apabila F bernilai positif,maka system akan mengalami percepatan dan apabila F bernilai nol,maka kecepatan suatu system akan konstan.

Selanjutnya kita akan membahas orang yang sedang terjun payung.Orang yang sedang terjun payung pada gambar 1.2 dapat dimodelkan sebagai berikut:

B

  • FD adalah gaya ke bawah orang tersebut
  • FU adalah gaya gesekan angin terhadap orang tersebut

Dimana

B

g adalah percepatan gravitasi bumi(m/s2).

B

 

FD dapat berupa

Fu=-cv

  • c adalah koefisien gesekan(kg/s)

Sehingga rumus-rumus di atas dapat disederhanakan menjadi persamaan deferensial:

B

Pada teknik yang lebih lanjut,kita dapat mengubah persamaan di atas menjadi persamaan yang dapat dianalisis dengan mengintegralkan kedua ruas.

B

Misalnya kita telah mengetahui massa dari orang tersebut sebesar 68,1 kg,koefisien gesekan udaranya sebesar 12,5 kg/s,dan percepatan gravitasi bumi sebesar 9,8 m/s2.Dengan menggunakan rumus di atas kita dapat menghitung kecepatan tiap waktu yang kita inginkan.Sehingga kita dapat memperoleh data sebagai berikut:

B

Dan kita dapat membuat grafik sebagai berikut:

B

Rumus di atas masih dapat dirubah lagi dalam bentuk rata-rata perubahan waktu terhadap kecepatan menjadi

B

  • dimana ti adalah waktu awal dan ti+1 adalah waktu setelah ti

kita dapat menyubtitusikan persamaan di atas menjadi

B

Sehingga kita akan dapatkan

B

Pada awal mula ti=0, kecepatan(v)=0.Kemudian kita menghitung ti+1=2s:

B

Kemudian pada ti+1=4s:

B

Dan seterusnya akan didapatkan data-data sebagai berikut:

B

Dari data-data di atas dapat kita gambarkan grafik

B

Dari grafik di atas dapat kita lihat perbedaan dari metode analitis dengan metode numeric.Dimana metode numeric akan menghasilkan pendekatan terhadap kurva aslinya.

Selain itu ada beberapa langkah dalam menyelesaikan masalah keteknikan yaitu

B

Semoga Anda paham dan bermanfaat…..

Lebih Jelasnya Anda dapat mencari buku Numerical Methods For Engineer karangan Steven C. Chapra dan Raymond Canale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Perkiraan dan Pembulatan

Ada kesalahan dalam metode numerik walaupun metode ini menghasilkan perkiraan yang mendekati solusi analitis yang tepat karena metode numerik mengandung perkiraan.Sebenarnya kita sangat beruntung sekali dengan adanya solusi analitis yang dapat menghitung kesalahan yang ada.Tetapi dalam beberapa masalah keteknikan kita tidak dapat menentukan solusi analitis.Oleh karena itu,kita tidak dapat menghitung persis kesalahan yang terkait dengan metode numerik.Pada kasus ini,kita harus memperkirakan kesalahan yang terjadi

Perkiraan dan Pembulatan

Perkiraan yang kita buat janganlah terlalu jauh dari harga yang sebenarnya agar error yang dihasilkan kecil.Misalnya pada pembacaan speedometer.Misalnya seperti speedometer di bawah ini:

A

Pada jarak normal kita melihat,laju mobil atau kendaraan tersebut kira-kira 49 km/jamNamun Ketika diperbesar sekitar 48,86421 km/jam.Hal ini tidak menjadi masalah kita menganggapnya 49 km/jam.Karena errornya masih kecil sekali.dalam kasus ini kita tidak akan merasakan efek yang nyata dari pembacaan speedometer ini.Mungkin dalam pembuatan mur yang diameternya paling tidak memiliki error yang sangat kecil agar tepat dalam pemasangannya.Terlebih tidak ada errornya.

Error dapat didefinisikan sebagai berikut

 

A

 

Et adalah error sebenarnya

A

Rumus di atas adalah error sebenarnya dalam persentuil.

Sebenarnya kita di dunia ini dalam menentukan error dan nilai belum tentu tepat sehingga kita dapatkan rumus di bawah ini:

A

Perkiraan error dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:

A

 

PEMBULATAN

Pembulatan dapat kita lakukan pada error yang kita peroleh maupun nilai dari perhitungan kita.Contoh Pembulatan adalah misalnya kita ingin membulatkan angka 6,12651234.Kita akan mendapatkan nilai tersebut menjadi 6,127.Hal tersebut dapat dilakukan karena sebelum angka lima ada angka enam yang lebih tinggi nilainya dari angka lima jadi dapat dibulatkan ke atas.apabila sebelum angka lima tersebut nilainya di bawah lima,misalnya 6,12451234 nilai tersebut menjadi 6,124.

Semoga Bermanfaat……

Sumber:Numerical Methods for Engineering karangan Stephen C. Chapra dan Raymond Canale.

Apabila ada komentar atau tambahan silakan ketik di bawah ini:

Gotye feat Kimbra-Somebody That I Used To Know

Now and then I think of when we were together
Like when you said you felt so happy you could die
Told myself that you were right for me
But felt so lonely in your company
But that was love and it’s an ache I still remember

You can get addicted to a certain kind of sadness
Like resignation to the end, always the end
So when we found that we could not make sense
Well you said that we would still be friends
But I’ll admit that I was glad it was over

But you didn’t have to cut me off
Make it like it never happened and that we were nothing
And I don’t even need your love
But you treat me like a stranger and that feels so rough
No you didn’t have to stoop so low
Have your friends collect your records and then change your number
I guess that I don’t need that though
Now you’re just somebody that I used to know

Now you’re just somebody that I used to know
Now you’re just somebody that I used to know

Now and then I think of all the times you screwed me over
But had me believing it was always something that I’d done
But I don’t wanna live that way
Reading into every word you say
You said that you could let it go
And I wouldn’t catch you hung up on somebody that you used to know

But you didn’t have to cut me off
Make it like it never happened and that we were nothing
And I don’t even need your love
But you treat me like a stranger and that feels so rough
And you didn’t have to stoop so low
Have your friends collect your records and then change your number
I guess that I don’t need that though
Now you’re just somebody that I used to know

Somebody
(I used to know)
Somebody
(Now you’re just somebody that I used to know)

(I used to know)
(That I used to know)
(I used to know)
Somebody

Sumber:http://liriklaguindonesia.net/gotye-somebody-that-i-used-to-know.htm

Metode Numerik

Apa itu metode numerik?.Mungkin kita penah mendengar kedua kata tersebut.Metode yang artinya adalah suatu cara atau penyelesaian  sedangkan numerik yang  berasal dari kata Number(Inggris) atau Numer(Belanda) adalah angka.Jadi metode numeric adalah penyelesaian suatu masalah dengan angka.Penyelesaian tentang apa?.Penyelesaian matematis dengan menggunakan angka.

Sebenarnya pokok dari pembahasan metode numeric adalah selisih atau pada istilah pada computer disebut sebagai error.Selisih didapat melalui pendekatan  atau approximate.Apa maksudnya?.Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan contoh kasus sebagai berikut:

Capture KotakGambar 1

Apakah gambar itu bulat?

Sebagian besar dari kita akan menjawab bahwa ini tidak bulat.Padahal gambar tersebut mendekati bulat(almost circle).Mengapa?.Hal tersebut dapat dibuktikan pada gambar di bawah ini:

Capture BulatGambar 2

Ruang yang berwarna merah adalah selisih.Hal ini menunjukkan bahwa selisih dihasilkan oleh pendekatan(approximate).Namun bagaimana kita mengukur luas benda di bawah ini?

Capture Gak tauGambar 3

Dengan mudah kita dapat mengukur luasnya dengan pendekatan yaitu dengan membubuhi beberapa kotak kecil yang panjang sisi-sisinya sama sebagai berikut:

Capture kotak2Gambar 4

Dari gambar di atas kita dapat menghitung luasan benda tersebut mendekati  15 kotak.Sedangkan bagaimana bila gambar tersebut diperbesar  hingga seribu kali bahkan satu  juta kalinya?atau berapa  luas Pulau Jawa yang begitu besar dan tidak beraturan bentuknya?.Kita tidak sanggup menghitungnya dengan manual seperti tadi.Kita akan membutuhkan computer untuk menghitung banyaknya kotak tersebut.Komputer dapat mengatasi pekerjaan yang membutuhkan ketelatenan tersebut dan kecepatan hitung computer sepat sekali.

Contoh kasus lain adalah misalnya ukuran tinggi tubuh Dora adalah 170 cm menurut Dori.Sedangkan menurut Doro tinggi tubuh Dora adalah 169 cm.Kita dapat mengetahui tubuh Dora dengan merata-rata tinggi menurut Doro dan Dori yaitu sebesar 169,5 cm.Hal itu pun belum tepat 169,5 cm mungkin tingginya bisa lebih beberapa μm lagi.Jadi tinggi tubuh Dora mendekati 169,5 cm.

Satu hal lain yang perlu dibahas adalah mengenai angka.Kita percaya angka,contohnya seperti pada kasus di atas adalah tinggi tubuh Dora mendekati  170 cm.170 cm menunjukkan angka.Selain itu,misalnya kita melihat lukisan kuda.Lukisan itu indah sekali menurut Anda.Anda menilai lukisan tersebut senilai 8 dari 10.8 dari 10 itu adalah angka.

Namun setelah kita membahas panjang lebar,apa sih hubungan hal-hal di atas dengan metode numeric?.Ya seperti yang telah dijelaskan di atas metode numeric adalah Penyelesaian matematis dengan menggunakan angka.Hal tersebut berkaitan dengan penghitungan luas gambar 4  di atas.Selain itu pokok permasalahan dari metode numeric ini adalah selisih yang dihasilkan jangan terlalu besar.Mungkin pada pembahasan lain kita akan membahas komputasi metode numeric .